时间序列动量策略（TS动量策略）假设预期收益的符号具有一定程度的持续性，然而，在动量转折点，TS动量策略很可能下错注。动量信号的速度（也即，对最近数据的敏感性）可以权衡噪声和响应度。本文主要针对动量信号的速度展开研究。

文章以美国股市的加权市场收益率减去无风险收益率（Mkt-RF）的时间序列作为测试对象，将具有相对较长的回顾窗口（12个月）的动量策略称为SLOW策略，具有相对较短的回顾窗口（1个月）的动量策略称为FAST策略。当SLOW和FAST信号一致时，作者称之为“牛市状态”（SLOW和FAST都指向多头）或“熊市状态”（SLOW和FAST都指向空头）。当SLOW和FAST不一致且SLOW指向建立多头仓位时称之为“修正状态”，如果SLOW指示建立空头仓位，则称之为“反弹状态”。“牛市状态”之后总是伴随高收益低波动，“熊市状态”之后总是伴随负收益高波动，“修正状态”之后总是伴随收益下行、波动增加，“反弹状态”之后总是伴随类似“牛市状态“的平均回报和偏度，但波动性较高。最后，“修正状态”和“反弹状态”出现频率非常高，占所有时间样本的三分之一以上。

下图为美国股市近50年来四个市场周期之后的回报的平均值、波动性和偏度，以及这些状态的月度相对频率。

作者分析了不同速度的性能与预期收益的持续性、转折点和实现回报中的噪声水平之间的关系。结果发现，在长期内SLOW策略胜过FAST策略，然而在转折点后的短期内，更高的噪声则转化为SLOW策略的更高损失。

作者分析了各种中间速度的动量策略，在理论和实证上表明，中间速度的动量策略的夏普比率高于SLOW或FAST的平均夏普比率。并且，作者对TS动量alpha的驱动因素提供了新的见解。不同于最近研究所认为的“TS动量策略的盈利主要归因于它们的静态（平均）倾斜（static (average) tilts）”，作者提出了一种新的无模型动量alpha分解方法：分解为市场择时和波动性择时。在实证上，作者估计市场择时在最近50年驱动了大约三分之二的TS动量策略alpha，而波动性择时驱动了其余的三分之一。

作者还研究了每月可变动“速度”的动态策略，推导出了与状态相关的速度规则。最后，为了测试作者关于美国股市发现的结果的外部有效性，作者研究了在20个国际股票市场上各种静态和动态速度的TS动量策略的实证表现。与作者的理论结果一致，中等速度策略的夏普比率在所有市场中都高于SLOW和FAST的夏普比率的平均值。此外，动态速度策略的夏普比率高于大多数静态速度策略的最高夏普比率。

前人研究上，Albuquerque等人（2015年）指出宏观经济变量与股票市场的“长期牛市”和“长期熊市”时段的回报相关，但这些时段平均持续时间分别约为14.8年和3.2年。Cujean和Hasler（2017年）发现了TS动量在经济不景气时期会增强。Huang等人（2020年）认为，一个多元化的12个月TS动量组合的盈利主要归因于其静态倾斜（净多头头寸）。Goyal和Jegadeesh（2017年）还认为TS动量策略的净美元敞口（即静态倾斜）是其盈利能力的关键决定因素。

作者的创新点在于，基于12个月动量和1个月动量一致性，在较短股市时段内判断未来股市走向，并且提出一种新的动量alpha和beta的分解方式，将无条件的贝塔和alpha分解为时间序列策略权重和市场回报的直接函数，避免了对条件信息依赖的表达式。

2.1、 刻画SLOW和FAST

对于FAST，作者如下构建信号：如果过去一个月收益为正，则为利好信号，反之则为利空信号。对于SLOW，作者如下构建信号：如果过去十二个月平均收益为正，则为利好信号，反之则为利空信号。

2.2、时变趋势的模型

作者将TS动量策略视为对预期回报的间接估计（基于滞后实现回报）到投资组合仓位的映射。当这些估计为正或负时，SLOW和FAST将平均滞后实现回报的符号（作为预期回报的符号的估计）映射到多头或空头仓位。这种估计的准确性取决于预期回报的持续性以及噪声的影响。

为了研究持续性和噪声的作用，作者采用一阶自回归过程AR（1）预期回报。在这个模型中，实现回报是AR(1)过程的噪声观察结果。作者将SLOW和FAST应用于这些实现回报，并根据持续性参数和噪声量的不同参数化来探讨它们的表现。

具体而言，（无法观测的）月度预期超额回报过程满足：

作者关注无条件平均超额回报为零的情况，此时TS动量策略的超额回报完全是alpha。

最后，定义噪声比为：

如果噪声比很小，那么实现回报和期望回报彼此接近，因此实现回报更能提供关于潜在趋势（即期望回报的符号）的信息。如果噪声比很大，那么实现回报被噪声主导，因此对潜在趋势的信息较少。

作者提出并证明了以下命题：

在命题二的条件下，SLOW和FAST的夏普比率是持续性和噪声参数的有界集上的连续函数，因此可以在[0,1] x [0,1]的单位正方形上图形化地分析这些夏普比率。在下图中，作者计算并绘制了命题1中表达的夏普比率的绝对水平和相对水平，范围涵盖了一系列的持续性和噪声比率。结果表明，对于足够高的持续性，SLOW优于FAST，对于足够低的噪声，FAST优于SLOW。

命题3说明在拐点之后，FAST策略往往有利可图，而SLOW策略则平均而言会产生亏损。下图绘制了拐点后各持续性和噪声值下的SLOW（a）和FAST（b）的条件期望收益，其中转折点的预期回报均为0.3标准差幅度。在拐点之后，对于所有噪声和持续性水平，SLOW的预期回报为负值，FAST为正值。这是因为SLOW在拐点后有较高的平均持续性和已实现噪声。因此，在相对较高的噪声下SLOW整体绩效的提升往往是以加剧动量崩盘为代价的。下图(b)显示，在噪声水平较低或持续性水平较高情况下，FAST在拐点后提供越来越多的正回报。

作者充分认识到作者采用的模型假设在现实世界中并不成立，例如，回报通常不服从正态分布，而预期回报不必遵循AR(1)。在本文的其余部分，除非明确提到这个模型，否则作者不保持本节引入的分布假设。相反，作者采用温和的固有假设，即分析表达式和推导中存在矩，并且二阶矩是非零的。因此，作者将后续的结果描述为无模型。

接着，作者通过定义一个在SLOW和FAST之间的信号速度范围内的中间策略的连续体来表征中间策略：

速度参数a取值范围为[0,1] ，特别的，a=0.5时，作者称之为中间速度（MED）。混合慢动量和快动量的投资组合可以综合SLOW和FAST的优势。将SLOW和FAST信号的交汇映射到四个可观察的市场周期或状态之一。

在作者的50年评估期内，“牛市状态”月份是最常见的，相对月频率为48.3%，反映了美国股市提供的平均正风险溢价。“熊市状态”月份相对较少，约占总时间的六分之一（16.7%），而“修正状态”和“反弹状态”月份占了剩余的35.0%。换句话说，平均每三个月左右，SLOW和FAST建议在股市中采取不同的立场。

考虑使用中等速度信号的策略，在日期t，根据日期t的各种市场周期，日期t+1的等权策略回报为t+1期的收益加权平均合成，长期期望回报为：（P代表概率）

作者研究三组宏观指标。第一组包括由芝加哥联邦储备银行组建的四个指数，涵盖了美国经济的主要组成部分——生产、消费、就业和销售——以及由Gertler和Karadi（2015）估算的货币政策冲击。第二组包括五个与风险相关的指标：（i）芝加哥联邦储备银行的国家金融状况指数（NFCI）；（ii）Pastor和Stambaugh（2003）的流动性创新测度（PS Liquidity）；（iii）国库券-欧洲美元（TED）利差；（iv）由Hu等人（2013）开发的国债市场的流动性度量（Noise）；以及（v）由Pflueger等人（2018）提出的高波动性/低波动性估值差（Vol Spread）。基于媒体或调查数据的最后一组变量包括：（i）Baker等人（2016）的基于每日新闻的经济政策不确定性指数（Policy）；（ii）密歇根大学消费者信心指数；（iii）由供应管理学会编制的采购经理指数（PMI）；（iv）专业预测师调查（SPF）的当季经济衰退概率；以及（v）SPF提供的下季度公司利润预期。总共，作者收集了15个宏观指标的时间序列。

在下表中，作者将同时出现的四个市场周期映射到15个宏观指标的创新。这些创新是个体自回归模型的残差，其阶数由贝叶斯信息准则确定。

结果表明，当SLOW和FAST达成一致意见时，分别观察到大多数经济变量的显著正面和负面宏观经济冲击。在“修正状态”和“反弹状态”，冲击在很大程度上不显著。这是因为，宏观环境的潜在转变或停滞，既不被显著的正面创新也不被显著的负面创新所捕捉，往往与股市周期的转折点相一致。只有货币政策冲击呈现出略有不同的情况，与“反弹状态”相关的是意外的降息，与“修正状态”相关的是意外加息。

在下图中，作者绘制了样本最近50年期间NBER衰退和扩张的早期和晚期中四种状态月份的相对频率。“熊市状态”在衰退初期最为频繁，在衰退结束时频率急剧下降，在扩张初期保持较低，并在扩张尾部再次上升。“牛市状态”在衰退初期最不频繁，在衰退结束时频率上升，在扩张初期保持频率较高并继续上升，在扩张尾部逐渐下降。“修正状态”在衰退期间很少见，在经济扩张期间频率增加，直至下一个衰退的边缘。“反弹状态”在衰退初期居于次频。它们的频率在衰退结束时上升，在扩张初期急剧下降，并保持较低，直至下一个衰退的边缘。

结果表明，收益在衰退初期将转负，但在衰退后期将升至相对较高的正水平。在衰退的前三个月，“熊市状态”占据市场状态的三分之二，由于“熊市状态”的定义是指最近一个月的回报为负，因此“熊市状态”状态在早期衰退期间的相对高频意味着在这些早期时期未来收益可预测地为负。在衰退结束时，“熊市状态”市场状态的相对频率急剧下降，而“牛市状态”和“反弹状态”主导其他状态。由于“牛市状态”和“反弹状态”的定义是指最近一个月的回报为非负，因此说明最强烈未来（可预测的）正回报期发生在衰退后期。这一证据表明，衰退往往具有负动量（早期）和正动量（后期）的最强烈时期。

经济意义上，投资者使用现值身份对股票进行估值，但使用主观预期贴现未来现金流，而这些预期较慢地反映新信息。在这个行为框架中，预期回报的主观现金流组成可以抵消理性风险溢价组成，从而在经济过渡到衰退时引起负回报。此外，在衰退后期，随着经济状况更充分地反映在信念中，主观组成的影响减小，预期回报恢复到理性框架中固有的反周期行为，于是再次出现反周期风险溢价。此外，由于四种状态可以在商业周期的任何时期发生，一个宏观周期并不只有一个状态，因此随着时间变化，周期也有不同体现，风险溢价也会有所变化。

下表总结了各种速度的TS动量策略的基本无条件时刻的估计，以及市场策略，不考虑交易成本。作者将这些结果突出显示在三个部分中：回报和风险，市场择时，以及尾部表现。

结果表明，MED提供了最高的夏普比率（0.51），大致实现了市场beta中性，并提供了最显著的alpha（t统计量为3.73），且没有表现出基础市场或SLOW和FAST策略的负偏度和严重回撤行为。

4.1、收益和风险

下表面板A将无条件平均回报分解为每个市场周期后的条件贡献，即：

面板B将回报的无条件方差分解为根据观察到的每个市场周期的周期条件贡献。例如，”牛市状态”周期后速度为a的TS动量策略的条件方差贡献是下式的样本估计。

每列的中间四个值（以及每列的最后两个值）之和等于第一行的值。

考虑在不同速度下的平均回报贡献，结果表明在“牛市状态”和“熊市状态”周期后各速度均获得相同的收益。SLOW在“反弹状态”之后的亏损与FAST在“修正状态”之后的亏损相近。在“修正状态”状态和“反弹状态”之后，SLOW的净收益为0.58%。

面板B表明中间速度策略在“修正状态”和“反弹状态”之后相对于SLOW和FAST减少了其市场敞口，因此对这些状态散发的方差风险的敞口较低。特别是在这些时期之后，MED完全退出市场，避免了对这些状态的方差风险的任何敞口，这也是为什么MED策略的无条件回报方差（和波动性）较低。

为了更好讨论混合SLOW和FAST的偏度，作者提供了夏普比率的另一种表征，即通过一个分歧乘数（disagreement multiplier）来分离在“修正状态”和“反弹状态”状态之后SLOW和FAST之间的波动率贡献。分歧乘数D(a)捕捉了无条件市场回报的波动率与动量策略波动率之比，也即，分别来自“牛市状态”或“熊市状态”状态以及“修正状态”或“反弹状态”的波动率贡献。

D(0.5)≥D(a)≥1，这说明中间速度的动量策略的风险调整绩效大于分别采取的慢速和快速动量策略的以a为权重的加权平均风险调整绩效。MED策略可以极大减少对波动性的暴露。

根据经验夏普值（SLOW为0.41，FAST为0.34）作者对持续性和噪声比进行计算，算出前者为0.85，后者为0.86。为了对可能的估计误差进行鲁棒性检验，作者执行了基于作者50年历史中的10个不重叠的5年块计算的FAST/SLOW 夏普比率对的1000个块自助估计（采样时有放回）。

下图在单位平方上绘制了这些参数对的估计。结果表明，预期回报具有相对较高的持续性，而实现回报具有相对较高的噪音。当 FAST 和 SLOW 的夏普比率相等时，MED策略在所有静态速度策略的混合策略中最优（夏普比率最大）。

4.2、市场择时

作者首先使用广泛使用的分解方法来区分预期回报中的市场择时交易和静态交易：

取期望后有以下关系：

市场择时分量代表了由信号的动态交易所生成的预期回报的份额。

作者在市场协方差、β和α中区分择时和静态分量，并将速度策略回报和买入并持有的市场策略回报之间协方差分解如下：

Beta的分解中三个分量按次序分别是静态分量、市场择时、波动性择时；Alpha分解中两个分量按次序分别为市场择时和波动性择时。

市场 beta 的任何动量策略都可以分解为一个静态部分和一个市场择时部分，然而，还会出现一个重要的额外波动择时分量，反映了策略权重对后续回报波动的可预测性。因此，如果动量权重与后续平方回报偏离其均值的情况显著协变，那么动量投资组合的 beta 可能无法很好地由平均动量头寸的 beta 近似。即使市场择时成分相对较小，波动择时成分可能相对较大以致抵消市场 beta 的静态成分。

下表对此进行了分解。对于所有速度，beta 的市场择时成分都很小，接近零。beta 的波动择时成分在大小上大致相当于静态成分，但符号相反。alpha分解显示，除了市场择时外，波动择时也可以是 alpha 的驱动因素，甚至组成了每个策略在评估期内总 alpha 中的一大部分（超过 33%），且波动择时在过去15年中占alpha的比例超过65%。

Beta的静态部分完全抵消了来自预期策略回报的 alpha 的任何静态部分。因此，在alpha的分解中不存在静态部分，由波动择时和市场择时组成。

那么，TS动量alpha主要是波动率管理alpha的再包装吗？对于美国股市，Moreira 和 Muir（2017年）表明波动率管理（VOM）投资组合alpha 中几乎没有市场择时，主要是波动率择时构造的。Moreira 和 Muir 的理论结果预测，在波动性与预期回报之间没有相关性时，VOM alpha 为正。相反，TS 动量 alpha 除了波动率择时外，还可能具有相当大的市场择时，因此，TS 动量策略似乎提取了与VOM策略不同的 alpha 来源。

4.3、尾部表现

下表报告了在四个市场周期之后各个月份的市场月度回报的不同百分位数。然而，极端结果在下行方向往往比上行方向更严重。FAST策略倾向于通过在“修正状态”进行空头操作，将损失转化为收益，然而，FAST 也完全暴露于“修正状态”和“反弹状态”的波动性，其中回报的差异相对于”牛市状态”状态在正面和负面两侧都更大。中等速度策略减少了对与这些状态相关的波动性和极端事件的暴露。特别是，MED 完全避免了在这些状态之后的月份中的这种暴露。

在每个市场周期之后的下行风险暴露可以帮助解释各种策略的最大回撤模式。中等速度通过在“修正状态”和“反弹状态”之后减少头寸来进一步降低对极端下行事件的暴露。因此，中等速度最大回撤更低，单位绝对最大回撤的平均回报更高。

这表明MED策略的偏度相较于FAST和SLOW进行了规模放大，并（在MED具有正夏普比率时）右偏。如果在某个市场中SLOW和FAST都具有非负的偏度和夏普比率，那么MED的偏度将是正的，并且高于SLOW和FAST的最大偏度。

作者不再使用静态的速度参数a，而是让它随四个市场周期动态变化。

在“牛市状态”和“熊市状态”下动态权重不变，分别为1和-1。最大化动态回报的稳态夏普比的这些状态条件速度参数的值为：

因为上式中的第一和第二矩的总体值是不可观测的，作者使用这些矩的历史估计值来近似它们的值。作者使用标签“DYN”表示可投资策略，DYN权重定义如下：

5.1、动态策略表现

下表报告了DYN在作者50年的评估期内不同评估窗口的样本外表现，从50年前的5年递增到最近的15年。DYN的状态相关速度在每个评估窗口上都是固定的。作者定义，DYN策略在每个评估窗口上的效率，作为其夏普比率与事后效果最高的状态相关速度策略（作者标记为“OPT”策略）夏普比率的比值。OPT使用在每个评估窗口上给出最高样本内夏普比率的固定速度。

DYN在不同评估窗口中始终表现出92%或更高的效率，反映了其在样本外利用性能机会的能力。

与静态速度策略相比，DYN的样本外表现也显示出适度的收益。下图比较了DYN和OPT的夏普比率与各种静态速度策略的夏普比率，这些速度策略的评估窗口从水平轴上的每个日期开始，一直到样本期末。无论哪种静态速度策略表现最佳，DYN在所有评估期内均以微弱优势击败最佳静态速度策略。尽管在某些时期其夏普比率在绝对尺度上的优势较小（例如，DYN在1969年开始的50年评估窗口中的0.52相对于MED的0.51），但DYN始终获得几乎所有的性能机会（由OPT捕获）。相比之下，MED和OPT之间的差距有时相对较大——MED的效率低至75%。因此，从前瞻性角度来看，DYN提供了一种系统的方法来调整速度。

此外，DYN相对于MED产生了超额收益。DYN始终产生比MED更高的超额收益，但波动性也更高。MED在修正和反弹之后完全退出市场，从而消除了在这些状态之后的波动性以及回报机会。相反，DYN在这些状态之后采取（缩减）仓位，允许DYN利用过去市场周期回报模式中可能有利的回报/波动性权衡。DYN在相对于MED方面表现出统计显著的alpha，显著性水平为单侧10%。

5.2、DYN对估计误差的敏感性

作者通过对历史回报进行分块自助法重新采样，分析DYN状态相关速度估计对估计误差的敏感性。作者发现，对DYN性能贡献最大的是那些在“修正状态”之后速度相对较慢，在“反弹状态”之后速度相对较快的状态相关速度对。此外，夏普比率的表现对于这一区域内速度的变化相对不敏感。

下图绘制了在最近的15年评估期间（2004年01月至2018年12月）内，具有状态相关速度对的动量策略在单位正方形上的夏普比率等高线水平。同心曲线代表夏普比率相等的速度对水平。较浅的区域反映较高的夏普比率，而较深的区域反映较低的夏普比率。静态策略（速度不随状态变化的策略）由点表示在虚线对角线上。OPT是在事后实现最高夏普比率的状态相关速度对。

结果表明夏普比率对于在样本内均值方差最优速度对OPT附近的速度对数值偏差的敏感性较小，而对于远离的速度对则较大。基于历史样本的DYN速度对接近OPT，表现大致相当好。小点表示通过使用1926-07至2003-12的月度数据进行的1000次分块自助法估计状态相关一阶和二阶矩的速度对。

总之，性能最佳的状态相关速度对往往是：在“修正状态”之后相对较慢，在“反弹状态”之后相对较快。此时，速度对更接近最优值，并且夏普比率对估计误差的敏感性较小。

5.3、市场周期模式

下表报告了在50年评估期内，在前一个月的市场状态（前四列）给定前一个月的市场状态的情况下，下一个月各种市场状态的相对频率（第一至第四列）。它还报告了在前一个月的市场状态（行）给定前一个月市场状态的情况下，下一个月正收益和负收益的相对频率（分别是Up和Down状态，在最后两列）。首先，在“修正状态”之后，市场往往会回归到“牛市状态”。在给定当前月是“修正状态”的情况下，接下来的月份大多数时间（61.2%）是牛市。如果作者将“修正状态”视为一个警报，即上涨趋势可能转为下跌趋势，那么这个警报往往是一个虚警。因此，在“修正状态”之后采取较慢的速度动量位置是一个更好的选择。其次，在“反弹状态”之后市场更有可能上涨。因此，在“反弹状态”后采取较快速度的动量位置更为有效。

下表报告了自1981年以来应用于20个国家股票市场的静态速度动量策略的夏普比率。对于表中的所有国家，MED的夏普比率高于SLOW和FAST的夏普比率的平均值。

下表报告了在这20个股票市场中应用的静态速度和动态速度动量策略的夏普比率，并在过去的15年内进行评估。在这里，作者使用早期的数据样本（2004年之前）来估计动态策略在评估期内使用的状态相关速度，对每个国家采用类似于第5节的方法。由于四个状态的估计期相对较短（20年的数据分为四个部分），估计相对嘈杂，以上限制在表9中的速度估计的近似一半速度中发挥作用。

除了加拿大（CAN），丹麦（DNK），中国香港（HKG），日本（JNP）和挪威（NOR）之外，对于大多数国家，作者在美国股票上进行的状态相关速度分析的建议都适用于国际股票市场：在“修正状态”之后采取速度较慢的动量，在“反弹状态”之后采取速度较快的动量。DYN策略的夏普比率大多数时间都高于最高的静态速度策略（在表中高亮为绿色）。

本文推荐2023年发表在Journal of Financial Economics上的一篇文献：《Momentum turning points》。该文献主要研究了哪种速度的动量策略表现更优，并找到了动态情形下最优动量速度决定机制，该结论在20个国家近40年内基本均普遍适用。具体来说，文章发现，通过等权混合短期动量长期动量的中等速度策略表现出许多优势，包括更高的夏普比率，较小的回撤，较正的偏度以及更高的alpha显著性。 除此之外，文章还发现，“牛市状态”之后总是伴随高收益低波动，“熊市状态”之后总是伴随负收益高波动，“修正状态”之后总是伴随收益下行、波动增加，“反弹状态”之后总是伴随类似“牛市状态”的平均回报和偏度，但波动性较高。另外，作者还引入了一种动态动量策略，该策略可以根据市场周期调整动量速度，并在几乎所有环境下都跑赢静态策略，其策略利用了市场在“修正状态”之后动量速度相对较慢，在“反弹状态”之后动量速度相对较快的特点。实证表明，以上结论和模型在非美国的二十个国家中几乎都成立。

*实习生李雅玥对本文亦有贡献